Un’esercitazione di Matematica e Fisica commentata

Ciao, tutto bene?

Oggi ti proponiamo un’esercitazione di Matematica e Fisica commentata quiz per quiz (ieri te ne avevamo proposta una di Chimica, clicca qui per svolgerla), in modo da iniziare a farti prendere dimestichezza con le diverse tipologie che potrai incontrare nel test ministeriale. Ti proponiamo dunque prima tutti i quiz e, di seguito, tutte le soluzioni con i relativi (ampi) commenti, speriamo apprezzi!

Ora: cominciamo?

? Una funzione si definisce “monotona” se essa è solo crescente o solo decrescente in tutti i punti del suo dominio. Quali di queste funzioni sono monotone?

1. y=3x+6

2. y=x2

3. y=senx

4. y=lnx

A. 1 e 4

B. 1, 2 e 3

C. 2 e 3

D. 1, 2 e 4

E. solo 1

?Un carrello si muove su una montagna russa partendo da terra, attraversando un punto di altezza a , scendendo e poi risalendo ad altezza 2a e poi fino ad un’altezza 3a. Al culmine di tale picco la sua quantità di moto si annulla.

Si calcoli l’energia cinetica che aveva il carrello a livello del terreno durante la partenza, trascurando forze di attrito e tenendo conto che non ha agito alcuna forza esterna al sistema.

A. Ec=|½m3a2|

B. Ec=|½m9a2|

C. Ec=|½ma2|

D. Ec=|mg3a|

E. Ec=|mg9a2|

? Due grandezze sono inversamente proporzionali se:

A. la loro somma è costante

B. la loro differenza è costante

C. il loro prodotto è costante

D. il loro rapporto è costante

E. quesito senza soluzione univoca e/o corretta

? In un triangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano 12a e 3a . Sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa misura 96, calcolare a.

A. a=24

B. a=18

C. a=16

D. a=8

E. Tale triangolo non può esistere.

? Due atleti si muovono a partire dallo stesso punto in direzioni opposte rispettivamente a 3 e 5 km/h. Raggiungono i due estremi opposti del percorso lungo 24 km contemporaneamente. Quanti km in meno ha percorso il corridore lento rispetto a quello veloce?

A. 15 km

B. 12 km

C. 11 km

D. 9 km

E. 6 km

Soluzioni e commenti dei quiz

? Commento del quiz 1: Non conoscendo il concetto di derivata prima, attraverso cui si potrebbe risolvere il quesito in maniera propriamente matematica, si consiglia di utilizzare un metodo grafico. I grafici 2, 3 e 4 sono grafici base, che è facile e strettamente necessario sapere a memoria, mentre il grafico 1 presenta una variazione a livello dell’inclinazione m (3) e del punto di incontro con l’asse y (6). Se non si ricordano i grafici, si proceda per via empirica sostituendo qualche valore: essendo funzioni base i calcoli saranno molto veloci. Grafici alla mano, partendo dall’alto, si osservi che:

  • La retta, essendo appunto dritta, non può far altro che crescere sempre o diminuire sempre. Tecnica della macchinina: immaginando una macchinina percorrere il nostro grafico secondo il verso indicato dall’asse delle x quando essa scende la funzione è decrescente, quando essa sale è crescente.

Percorrendo una retta la macchinina non può far altro che salire sempre o scendere sempre, quindi la funzione è monotona.

  • La parabola presenta una parte crescente nel primo settore e una parte decrescente nel secondo. Nel caso leggere questo grafico risulti più ostico, procedo a spiegare meglio il concetto di crescente o decrescente. Una funzione si dice crescente se man mano che x aumenta, y aumenta; decrescente se con l’aumentare di x allora y diminuisce. Immaginando di percorrere la parabola con una macchinina, risulta chiaro che dovendo scendere e poi risalire la funzione sarà decrescente e poi crescente. Non potrà essere quindi monotona.
  • La sinusoide è il più classico esempio di funzione periodica: è composta da continui sali e scendi che non possono lasciare dubbi riguardo all’impossibilità di classificarla come monotona.
  • Il logaritmo naturale può essere più ostico, ma si comporta esattamente come un normale logaritmo in base 10, per esempio. Se non si ricorda il grafico, si può costruire velocemente e accorgersi come una macchinina non possa far altro che salire continuamente o, nel caso di una base inferiore a 1, scendere sempre. La funzione è monotona. Risposta corretta: A.

? Commento del quiz 2: Per risolvere questo quesito è necessario padroneggiare in modo sicuro i concetti di energia meccanica, energia potenziale ed energia cinetica.

Tutti i dati riguardo alle varie altezze attraversanti sono essenzialmente inutili, basta infatti concentrarsi sull’energia posseduta dal carrello ad altezza 3a e ad altezza 0.

Ad altezza 3a il carrello non ha quantità di moto (p=mv) e quindi non si sta muovendo. Se non si sta

muovendo la sua energia cinetica è nulla, mentre è massima l’energia potenziale, che coincide in questo momento con l’energia meccanica.

EM=EP=mg3a

Ad altezza 0 è invece nulla l’energia potenziale, per cui tutta l’energia meccanica coinciderà con quella cinetica. Visto che l’energia meccanica si conserva in un sistema chiuso, allora potremmo dire per la proprietà transitiva che l’energia cinetica sarà uguale a quella potenziale calcolata precedentemente:

EC=EM=EP=mg3a

Risposta corretta: D

? Commento del quiz 3: Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante: se cresce il denominatore deve crescere anche il numeratore per mantenere invariato il rapporto, e viceversa.

Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se è costante il loro prodotto e quindi all’aumentare dell’uno, l’altro decresce. Risposta corretta: C.

? Commento del quiz 4: Il secondo teorema di Euclide permette di trovare l’altezza relativa all’ipotenusa in funzione di a risolvendo la seguente proporzione: proiezione minore : altezza=altezza : proiezione maggiore

….da cui: altezza=6a

L’altezza in funzione di a deve essere uguagliata alla sua misura (96) per trovare a.

96=6a a=16

Risposta corretta: C.

? Commento del quiz 5: Il quesito non richiede particolari conoscenze, se non un po’ di senso pratico e di attenzione. I due corridori viaggiano l’uno rispetto all’altro a 8 km/h : basta fare la somma delle velocità dei due corridori. Infatti, a rigor di logica, se due persone vanno in direzione opposta l’uno all’altra percorrono più strada totale nell’unità di tempo, e quindi si allontanano più velocemente. A questo punto se il percorso è lungo 24 km e loro fanno 8 km ogni ora, allora ci avranno messo 3 ore. Quanti km ha percorso il corridore veloce in 3 ore? Se percorre 5 km ogni ora allora ne avrà percorsi 15. E il corridore lento? Se ne percorre 3 all’ora ne avrà percorsi 9 in totale. La differenza vale 6 km.

Risposta corretta: E.

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