MRU, MRuA ed altri moti della Cinematica

Fra la miriade di argomenti di matematica e fisica nel bando di concorso, che si contendono 8 miseri posti, la cinematica non è stata particolarmente fortunata. Negli ultimi tre anni, questo ambito della fisica si è infatti aggiudicato la bellezza di 0 domande… dunque perché dedicargli una dispensa?
Perché sono proprio questi argomenti “dimenticati” a risultare più ostici quando riproposti a tradimento nel test. Iniziamo.

Innanzitutto partiamo da una premessa: la cinematica studia corpi in movimento. Questi sono approssimati a punti materiali (d’ora innanzi “Giovanni”), quindi non possiedono nessuna caratteristica in grado di influenzare il moto. Tipicamente quindi le uniche grandezze su cui dovete concentrarvi quando andate a risolvere problemi di cinematica sono posizione, velocità, tempo e, quando diversa da 0, accelerazione.

Ripeti con me.

Posizione, velocità, tempo e, quando diversa da zero, accelerazione.

Moto rettilineo uniforme

Il primo moto che andremo a considerare è il moto rettilineo uniforme (abbreviato in MRU). Come da nome, in questo caso il nostro Giovanni si muove a velocità costante in linea retta.

La legge oraria che descrive questo tipo di moti ci dice che la posizione in cui si troverà Giovanni dopo un dato lasso di tempo, ricavato come istante finale (tf) meno istante iniziate (ti), sarà determinata dalla sua velocità V e dalla sua posizione iniziale X0 seguendo la legge

? = ?0 + ? * (tf-ti)

Giocando un po’ con le variabili, è possibile mettere in evidenza la velocità, i tempi (sia singolarmente che come variazione temporale) e lo spostamento, ovvero la differenza fra la posizione finale e quella iniziale.

? = ?-?0 / ∆t

?-?0 = ?* ∆t

∆t = ?-?0 /?

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Il “fratellino” più complesso del caso visto in precedenza, si applica nel momento in cui, muovendosi sempre in linea retta, non sia la velocità di Giovanni ad essere constante, bensì la sua accelerazione. L’accelerazione è la misura di come varia la velocità nel tempo seguendo, in questo caso, questa legge

? = ?0 + a*∆t

Come vedete, la formula è molto simile all’equazione precedente, con la differenza che allo spazio è sostituita la velocità ed alla velocità si sostituisce l’accelerazione (non a caso quest’ultima è la derivata prima della velocità, che a sua volta lo è dello spazio). Tuttavia questa NON è una legge oraria, visto che queste descrivono il moto come spazio in funzione del tempo. Alla formula che regola la velocità si aggiunge per cui la legge oraria le moto rettilineo uniformemente accelerato:

? = ?0+ 1/2*a*(∆t^2)+ ?0*∆t

Per studiare questo genere di movimento è dunque necessario mettere a sistema le due formule. Così facendo è anche possibile ricavare una formula indipendente dal tempo, molto utile per svolgere problemi che manchino di questo dato.

?^2= ?0^2 + 2*a*(?-?0)

Moto parabolico

Unendo i concetti visti nel MRU e nel MRuA possiamo analizzare un particolare tipo di movimento, detto parabolico o balistico o del proiettile. Il movimento descrive una parabola con concavità rivolta verso il basso, il cui vertice rappresenta la quota massima, mentre le due intercette con l’asse X rappresentano la posizione di decollo e di atterraggio (con lo spazio compreso noto come gittata).
In questo genere di moto, viene trascurata qualunque azione l’aria abbia su Giovanni e si considera come unica accelerazione agente, quella gravitazionale (g= 9,8 m/s2 c.a.).
Ma in tutto questo cosa centrano MRU e MRuA? Semplice! Scomponendo il moto parabolico nelle due direzioni cartesiane x (orizzontale) ed y (verticale) ecco che assito a due scenari differenti:

Sul piano orizzontale, il buon Giovanni non viene sostenuto da nessuna accelerazione, ecco quindi che la sua velocità sarà costante e la sua posizione sull’asse X sarà definita dalla legge oraria del MRU.

D’altro canto lungo la verticale agisce costantemente l’accelerazione di gravità g, quindi la posizione lungo quest’asse (Y) varierà analogamente al MRuA.

Chiamando alpha (?) l’angolo di inclinazione del vettore ?0 rispetto all’ascissa e scomponendo anche la velocità iniziale sui due assi cartesiani come

?0x = ?0*Cos(?)

?0y = ?0 *Sin(?)

Ecco che otteniamo la legge oraria del moto parabolico per gli assi X ed Y:

? = ?0 + ?0x* (tf-ti)
?= ?0 + 1/2 g (tf-ti)^2 + ?0y*(tf-ti)

Solitamente nei problemi che si basano su questo genere di movimento, la differenza (tf-ti) viene considerata semplicemente come tempo di volo t.

Moto circolare uniforme

E cosa succederebbe se adesso il nostro Giovanni fosse un cane con una voglia matta di mordersi la coda? Ecco che verrebbe a mancare una delle ipotesi fondamentali che ci hanno permesso di studiare i moti finora: la linearità del movimento.
Viene quindi in nostro soccorso il moto circolare, di cui noi vedremo solo la variante a velocità costante (MCU) perché al M.U.R. sta bene così.

Per moto circolare uniforme, si intende infatti un moto circolare con velocità costante. Nella vita di tutti i giorni l’esempio classico è quello del cavalluccio della giostra, che spazza archi di circonferenza uguali in intervalli di tempo uguali. Nel nostro esempio, il buon Giovanni sta quindi correndo in cerchio, cercando invano di raggiungere se stesso a velocità costante.
Come per il MRU anche il MCU ha una legge oraria del tipo “posizione finale uguale posizione iniziale più velocità per tempo”, ma in questo caso gli spostamenti saranno archi di circonferenza. Questo ci porta a riscrivere la legge oraria come:

? = ?0 + ?*t
Dove con ? si intende l’angolo percorso espresso in radianti e con ? la velocità angolare. Si deduce abbastanza velocemente quindi che per questa famiglia di movimenti vadano definite altre grandezze fondamentali:

Nel moto circolare si identificano due tipi di velocità: una velocità tangenziale ?, ovvero la lunghezza della circonferenza fratto il tempo che serve a percorrerla (chiamato periodo ed indicato con T o come frequenza ? = 1/T ) e la già citata velocità angolare ? ovvero l’angolo percorso diviso il tempo impiegato a percorrerlo. Entrambe queste velocità sono costanti in modulo, per questo, ipotizzando un giro completo per la velocità angolare, è possibile scrivere

? = (2π)/T
? = (2π*r)/T

Confrontando le due formule appare evidente la relazione

? = ?*r

Fin qui nulla di troppo sconvolgente? Ottimo, ma pronti che ora arriva una parte un po’ contro intuitiva. Il vettore di velocità è costante in modulo, ma cambia di continuo in direzione e verso. Se questo accade deve esistere quindi una variazione della velocità, che altro non è se non un’accelerazione. L’accelerazione in questo caso la troviamo divisa in due componenti: una tangenziale, che misura la variazione del modulo della velocità ed una centripeta, che invece indica un cambiamento della direzione del vettore. Dato che per ipotesi ? in modulo non varia, ecco che l’unica componente di a rilevante nel MCU resta l’accelerazione centripeta ovvero che punta verso il centro (ac) e si misura come

ac = ?2/r

oppure

ac = ?2*r

a seconda di quale formula sia più conveniente usare nel problema.

Moto armonico

Ricordate come prima abbiamo scomposto il vettore velocità per il moto parabolico? Ecco, se facessimo una cosa simile per il MCU, proiettando Giovanni sull’asse delle ascisse e spostando la proiezione coerentemente col movimento circolare, ecco che otterremo un punto che oscilla instancabilmente fra due estremi di un segmento, che nel nostro esempio coincide con il diametro della circonferenza. Questa tipologia particolare di movimento è chiamata moto armonico (MA). Nel caso del MA, ? prende il nome di oscillazione:

? = ?/t (dove alpha è l’angolo (in radianti) assunto in un dato momento e t un generico tempo)

Conoscendo questo è possibile scrivere la legge oraria per il moto armonico come

? = r*cos (?*t)

Rigorosamente parlando, sarebbe più corretto sostituire al raggio l’ampiezza del moto armonico (A) che simboleggia il massimo spostamento dal centro. In realtà è necessario perché non sempre l’oscillazione copre l’intero diametro della circonferenza. Questa condizione può implicare un’inizio della rotazione diverso da ? = 0, quindi si dovrebbe tener conto dell’angolo iniziale ? riscrivendo la legge oraria del moto armonico con sfasamento come

? = A*cos (?*t+ ?)

Ma come già detto è già poco probabile che chiedano cinematica al test, lo è ancora meno che chiedano questo argomento. Anche il concetto di periodo viene ripreso nel moto armonico, dove viene definito come il più piccolo tempo dopo il quale il moto assume le stesse proprietà

T = 2π/?

Dato che, come abbiamo detto, il MA deriva dalla proiezione su una retta di un MCU, anche il MA presenta una sua velocità, che coinciderà con la componente orizzontale della velocità di Giovanni. Il vettore velocità di Giovanni è costante in modulo, ma non in direzione e verso e questo fa si che la ? del MA vari periodicamente, raggiungendo il valore massimo (in valore assoluto), in corrispondenza del centro.

? = -A*?*sin(?*t+?)

?max =|A*?|

Dato che la velocità varia, deve esserci una accelerazione a sostenere tale variazione. Questa cambia in maniera opposta rispetto alla velocità, azzerandosi periodicamente ove ci sia la massima velocità e massimizzandosi invece agli estremi: i punti più lontani raggiungibili dal centro.

a = -A*?2*cos(?*t+?)

amax = |A*?2|

Il moto armonico viene sfruttato come modello cinematico per lo studio sl pendolo semplice e l’oscillatore armonico. Dato che questi modelli comprendono l’impiego di forze quali il peso o la forza elastica, esulano dall’argomento principale della nostra dispensa.
Bene, direi che è giunto il momento di fermarsi (Ba dum ts). Questo è tutto ciò che serve conoscere sulla cinematica. Ovviamente si consiglia caldamente di affiancare queste nozioni teoriche alla pratica.

Un saluto dal team editoria e da tutta la Family.

Tabella riassuntiva delle formule

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