I logaritmi nel calcolo del PH: risoluzione avanzata

In questo breve articolo voglio spiegarti come calcolare rapidamente il logaritmo di un numero.

Ma facciamo attenzione un momento: in quali contesti ci è utile saper calcolare con rapidità il valore di un logaritmo?

In verità, mentre svolgevo il mio test di Medicina, mi sono reso conto in più occasioni quanto tempo mi facesse risparmiare (e quanti errori!) poter applicare il semplice ragionamento che sto per spiegare nelle prossime righe.

Secondo la mia esperienza, quello che imparerai ti sarà utile soprattutto in un caso: durante il calcolo del pH.

Per capirlo, eccoti subito un esempio di quiz che d’ora in poi saprai risolvere in un attimo:

Si calcoli il pH di una soluzione costituita da acqua e acido acetico 0.1M.
(Ka= 1.8 x 10^-5)
A) compreso tra 4 e 5
B) compreso tra 3 e 4
C) compreso tra 2 e 3
D) compreso tra 1 e 2
E) il pH è vicino alla neutralità

__

Siamo di fronte ad un acido debole che in soluzione acquosa altera il pH, abbassandolo (rendendo debolmente acida la soluzione). Calcoliamo il pH applicando la formula tipica nel caso di una soluzione con acido debole:

pH = -log di (radice quadrata di M x Ka)
pH = – log di (radice di 0.1 x 1.8 x 10^-5) = – log di (radice di 1.8 x 10^-6)

a questo punto, applicando le proprietà dei logaritmi sulla radice quadrata, trasformo il prodotto sotto la radice in una somma di logaritmi. Mi assicuro, però, di mettere il “segno meno” dal momento che sto calcolando il logaritmo negativo.

pH = – log di (radice di 1.8) – log di (radice di 10^-6)
pH = – log di (radice di 1.8) – log di 10^-3

Benissimo. Calcoliamo separatamente questi due termini. Calcolare – log di 10^-3 è facilissimo. Infatti, il risultato del logaritmo è l’esponente da dare alla base (base 10 del log) per ottenere l’argomento (ovvero 10^-3). In questo caso è chiaro che il risultato debba essere -3. Dal momento che davanti al log vi è il segno meno, il risultato di questo termine è +3.

pH = 3 – log di (radice di 1.8)

Ciò che voglio spiegarti viene fuori proprio a questo punto del ragionamento. Infatti fino a questo punto non abbiamo fatto altro che eseguire correttamente i nostri calcoli applicando le proprietà dei logaritmi e gestendo in modo intelligente le radici quadrate. Probabilmente, se non sei proprio ferratissimo/a in matematica i passaggi che abbiamo appena fatto potranno sembrarti complessi, ma in realtà ti assicuro che con un po’ di esercizio su questo tipo di quiz e studiando come si deve la teoria di questi argomenti, padroneggerai perfettamente gli step di risoluzione.

Ma a questo punto, dovendo calcolare il logaritmo della radice quadrata di 1.8, sentirsi stupidi è davvero facile. Bene, cerchiamo di essere intelligenti allora.

In tutti i quiz che il ministero abbia sfornato fino ad oggi, non è mai stato necessario conoscere in modo precisissimo il valore di questo termine. Il ministero vuole (giustamente) che sappiamo ragionare logicamente.

Ecco come svolgere questo termine.

La radice di 1.8.
2 x 2 fa 4.
1 x 1 fa 1.
E fin qui, nessuno può dirci niente.

1.8 è compreso tra 1 e 4. Questo vuol dire che la sua radice sarà ovviamente compresa tra 1 e 2.
Potrà sembrarti stupido, ma ti assicuro che possiamo stimare il risultato in via del tutto approssimativa ed i calcoli non cambieranno affatto in modo rilevante ai fini del quiz. Verosimilmente, quindi, il risultato sarà più spostato verso 1 che verso 2. Facciamo 1.3.
Non ho calcolato nulla, ho solo stimato.

Ci troviamo a dover calcolare ora il logaritmo negativo di 1.3 (o un valore simile insomma).

– Log 1.3

Log 1 = 0
Log 10 = 1
Log di un numero compreso tra 1 e 10 sarà compreso tra 0 e 1.

1.3 è compreso tra 1 e 10, decisamente spostato verso il numero 1, dunque il valore di log 1.3 sarà compreso tra 0 e 1, molto spostato verso 0. E non me ne frega niente “di quanto” questo numero sia spostato verso lo zero. Facciamo 0.3? Probabilmente è un valore scorretto, non sto usando la calcolatrice mentre scrivo queste parole. Ma ti assicuro che ci andrebbe bene anche stimare 0.2 o 0.8.
Guarda perché.

Stimato il nostro valore (0.3), mettiamoci un meno davanti (-log).

Eravamo giunti a questo punto nel calcolo del pH:
pH = 3 – log di (radice di 1.8)
pH = 3 – (un numero simile a 0.3)

Siamo d’accordo che il valore di pH sarà un numero un po’ inferiore a 3, ma certamente superiore a 2, dal momento che il numero che stiamo sottraendo a 3 è certamente inferiore a 1 (0.3, appunto).

Risposta esatta: pH compreso tra 2 e 3.

Ecco un’altra ovvietà: ti sembrerà di essere arrivati a fine articolo con l’affanno. È possibile che ti sia chiesto/a: doveva essere un articolo che mi riuscisse a semplificare il lavoro, a fare tutto più velocemente, eppure mi sembra che io ci abbia messo 10 minuti a risolvere un semplice quiz sul pH.

Compreso il ragionamento, ti sarebbe bastato arrivare a questo punto dell’equazione per rispondere correttamente:
pH = – log di (radice di 1.8) – log di (radice di 10^-6)

Perché, con un po’ di pratica, riconoscerai immediatamente il valore del primo termine e saprai esattamente (e con quale approssimazione) quanto sottrarre al secondo termine (il cui risultato è 3, ovvero la metà dell’esponente di 10) dal momento che siamo sotto radice quadrata).

Spero di averti insegnato qualcosa di utile.

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